偷偷告诉你一个高技巧玩游戏秘籍

围观：次归属：游戏攻略时间：2020-06-03 10:22

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没有模式很难掌握集合的规则，但是数学家可以依靠简单的边界值来帮助回答他们的问题。

当躲雨或放松时，玩一个简单的数字游戏来消磨时间！

让我们轮流从列表中划掉数字{1，2，3，...，9}。规则是没有三个连续的数字可以被划掉，得分前三个连续数字的人将认输。

来吧。你可以先开始。

假设在四步之后，我们划掉了这些数字:

又轮到你了。注意，如果你划掉4，你会输，因为有3个数字一起划掉了:3-4-5。划掉7，你就输了，因为是7-8-9。你只能划掉1、2或6。但是不管你选择哪一个，我都可以划掉另一个，这样你就没有数字可画了。

这是一个简单的游戏，但它使用有趣的数学。一种方法是创造一个“缺口”，让你的对手别无选择，只能从中间完成一个“三杆”，就像这样:

另一种方法是紧紧跟随你的对手，迫使他们从左或右完成“三击”，就像这样:

不管你使用什么策略，有一件事从数学上来说是肯定的:六步之后，有人会赢。这是因为9个数字中有7个被划掉了，不可避免地会有3个数字一起被划掉。(如果你不相信我，你可以试试。我们将在最后的练习中讨论这个问题。在这种情况下，我们说6是游戏中可以采取的步数的“上限”。

因此，即使我可能不知道哪一步是最好的，我们可以肯定的是，这个游戏可以赢得或失去不超过6步。接下来我们可以扩展。如果名单扩大到1-15，获胜者最多只需走10步就能出现。总之，如果列表中的数字可以被3整除，那么最多可以划掉2/3个数字。

找到这样的上限是理解游戏的一个步骤:例如，上限可以引导我们想出获胜的策略，或者当列表大小不是3的倍数时，上限可以作为参考。虽然知道上限似乎没有多大帮助，但它已经比类似的游戏规则有了很大的改进。

例如，让我们稍微改变一下规则。三个被划掉的数字不一定要挨着。它们可以被固定的长度分开。这意味着如果你划掉一个数字组成2 3 4，你就输了(就像在原来的游戏中一样)，如果是1 3 5(间隔2)或1 4 7，你也输了。这些模式是“算术级数”:由相同步长(称为容差)分隔的一系列数字。

回到我们的第一个游戏，使用新的规则。轮到你了，但这次你已经输了。

划掉1组成1 3 5，划掉2组成2 5 8，4组成3 4 5，6组成3 6 9，7组成7 8 9。你采取的任何步骤都会导致一个被划掉的算术级数。有很多事情需要注意，这使得游戏比原来复杂得多，也使得找到安全步骤的上限变得更加困难。

对数学家来说，真正的乐趣在于把一个简单的数字游戏变成一个数学游戏。他们的目标是准确地计算出可以采取多少步骤，肯定会有人失败，而且是在任何数字串上。换句话说，给定一个任意长度的数字序列，有多少个数字可以被划掉而不形成算术级数？规则听起来太简单了，不简单，但是我们不知道答案，而且我们对游戏的其他变化知之甚少。让我们再玩几个游戏，看看数学会把我们引向何方。

在我们的算术级数游戏中，一系列“安全运算”实际上是一个“塞勒姆-斯潘塞集”，即{1，2，3，4，5，6，7，8，9}的不包含算术级数的子集。所以我们前面提到的上限实际上是我们系列中最大的塞勒姆-斯潘塞集。然而，很难知道要达到上限需要采取哪些步骤。让我们看看为什么。

让我们从一串新的数字开始。没有人会在前两步中失败，所以随便选择两个数字，直接划掉3和5。

然后选择第三个数字，此时请注意。就像在最初的游戏中一样，我们必须小心不要从被抽中的数字的边或中间进行算术级数。例如，我们不能选择4，因为3 4 5；不能选择1，因为1 3 5，不能选择7，因为3 5 7。既然8是安全的，划掉它。

情况越来越复杂了。现在有更多的算术级数需要考虑。我们必须盯着三对划掉的数字。

一方面，我们对将要发生的事情有很好的理解。对于每对数字，我们需要避免从中间或侧面形成算术级数。但是事情并不像我们希望的那样可以预测。开头划掉的3和5排除了三种可能的选择:1、4和7。但是3和8不排除任何选择，因为我们必须避免的数字:-2，5.5和13不在数字列表中。5和8只消除了2，因为6.5和13都不是可选的。

我们做出的每一个选择都会消除一些未来的选择，但多少取决于我们选择的数字。这种不规则性使得我们很难穷尽所有的可能性，而且我们也不再容易确定所有数字列表的上限。

回到我们的游戏。我们看到6是安全的，所以我们划掉了。

游戏到此结束:下一步没有安全的选择。我们已经知道1，2，4和7会输，划掉9会产生算术级数3-6-9。我们已经尽力了。

这意味着包含我们安全操作的集合{3，5，6，8}是塞勒姆-斯潘塞集合。但是它是最大的吗？我们知道这个特定的集合不能更大，但是其他策略能产生更大的集合吗？{1，2，3，4，5，6，7，8，9}它能包含一个更大且不包含3项的算术级数子集吗？

是的:{1，2，6，8，9}是这个游戏的一套安全操作，所以它是一套塞勒姆-斯潘塞游戏。而且是最大的。因为我们知道对于集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，最大塞勒姆-斯潘塞集合大小是5。但是对于n个元素的一般集合，{1，2，3，...，n}，我们并不总是知道答案。事实上，目前我们只知道n ≤ 209的答案。

数学家想知道{1，2，3，...，n}。但总的来说，他们能做的最好的就是定义一个范围。即使这样也很困难，部分原因是我们在上面看到的不规则性。划掉新的数字可能会减少很多或者只有很少的选择。在下表中，你可以看到这种不规则性。该表列出了{1，2，3，...，n}，具有不同的n值。

在我们的n = 9游戏中，最大的塞勒姆-斯潘塞集的大小是5。但是请注意，如果我加上数字10，最大塞勒姆-斯潘塞集的大小不会增加，仍然是5。

另一方面，当n等于12到13到14时，最大值从6增加到7到8。然而，增加1需要增加6个n。

像罗斯定理和塞梅尔迪定理这样的结果为这些集合及其变体的大小设置了界限，并且经常使用大量的数字和高等数学(如遍历理论和傅立叶变换)。例如，Fills奖获得者Timothy Gals在他关于更广义的Szemeredi定理的工作中，为没有K长度的算术级数集的大小建立了一个重要的上限。然而，如果我们想在n = 9(数字列表的长度)和k = 3(被划掉的算术级数的长度)时计算游戏的上限，我们的计算将包括对4096次方的2的估计，一个1200位的数字！

虽然这样的界限对我们的日常生活不是很有用，但是它们给了我们一些数学上的控制，我们仍然不能完全理解。例如，直到最近，我们还没有“多项式序列”的边界(即算术级数的推广，包括加法和乘幂运算)。像2+3，2+3，2+3这样的多项式序列比简单的算术级数更复杂，这使得没有多项式序列子集的游戏更难理解。然而，建立上限是理解的另一个步骤，这是每个数字游戏的数学目标。

实践

问:证明:在游戏中，数字序列是{1，2，3，4，5}的原始规则(如果你连续划掉三个间隔为1的数字，你就输了)，玩家1有一个获胜策略。

甲:如果1号选手打3分，他就能赢。如果第二个玩家将1或5中的一个划掉，第一个玩家可以通过将另一个划掉而获胜。如果玩家2划掉2，玩家1划掉5；如果2号玩家打4分，1号玩家打1分。

问:在数字顺序为{1，2，3，4，5，6}的游戏中，有没有玩家有策略来确保胜利？

答:玩家2有一个获胜的策略。假设玩家1从{1，2，3}中选择一个数字。玩家2应该从{1，2，3}中选择下一个数字。例如，如果玩家1选择3，玩家2选择2。接下来，玩家1必须从{4，5，6}中选择一个数字。不管你选择哪一个，玩家2都可以赢。如果玩家1最初从集合{4，5，6}中选择数字，则可以应用相同的策略。

问:在一个数字序列是{1，2，3，4，5，6，7，8，9}的原始规则的游戏中，不可能安全地走7步。

(提示:将数字序列分成以下子集:{1，2，3}、{4，5，6}和{7，8，9}。)

答:请注意，如果你从提示中划掉三个子集中任何一个的三个数字，你将输掉游戏。经过六个步骤，理论上我们可以在三个子集的每一个中划掉两个数字。然而，不管第七步怎么走，比赛将以三位数结束。这就是所谓的鸽子洞原理:把七只鸽子放进三个洞意味着至少一个洞必须有三只鸽子。请注意，这与练习2中的获胜策略相似。

问:找出最大的塞勒姆-斯潘塞子集{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11}。

答:一种策略是从两端的数字开始，因为它们永远不会在一个系列的中间。所以我们取1和11，不包括6。再次应用此策略选择2和10，这样就不能再次选择3和9。从剩余的{4，5，7，8}中，您可以再取两个，如4和5。根据上表，最大的塞勒姆斯潘塞子集是6。

作者:帕特里克·霍纳

翻译:xux

审校:诺尔

原始链接:

http://www . quantamagazine . org/to-win-this-numbers-game-learn-to-like-math-patterns-20200507/

田

祝福